Свойства деления натуральных чисел. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел
Тема урока: Делимость суммы и произведения.
Тип урока: урок «открытия» новых знаний.
Цели урока:
1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.
2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.
3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.
приёмы и методы:
Рефлективные приёмы;
Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;
Методы самодиагностики;
Частично-поисковый метод;
Работа с учебником.
Формы работы учащихся:
Индивидуальная
Работа в парах
Фронтальная.
Планируемые результаты:
Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;
Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.
Применяемые образовательные технологии:
Системно-деятельностный подход;
Технология проблемного обучения.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
Здравствуйте, товарищи кадеты.
Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»
Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).
На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)
Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)
А почему Вовка остался голодный?
Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?
Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?
Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.
Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!
2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.
А) устный счет(лесенка)
Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.
У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.
Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.
Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)
Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»
Верните карточки.
Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!
А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?
Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)
Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.
Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.
Как называется результат умножения?
Как называются числа, которые складывают?
Как называется число, на которое делят?
Как называются числа, которые умножают?
Как называется результат сложения?
Как называется число, у которого больше двух делителей?
Как называется число, у которого два делителя?
Проверьте свои ответы. (Слайд 3)
На какие вопросы вы не смогли ответить?
Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.
Какое определение можно дать понятию по вертикали?
А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.
Запишите число и классная работа.
Выполните следующее задание: (Слайд 4)
В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)
2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:
3. Выявление причины затруднения.
Что вы можете сказать о произведениях?
О суммах?
Как вы это выяснили?
Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?
(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)
Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)
Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.
Физкультминутка.
Потрудились – отдохнем,
Встанем, глубоко вздохнем.
Руки в стороны, вперед,
Влево, вправо поворот.
Три наклона, прямо встать.
Руки вниз и вверх поднять.
Руки плавно опустили,
Всем улыбки подарили.
Объединитесь в группы по 4 человека.
Не забывайте о правилах работы в группе.
Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.
Все справились с заданием?
Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)
Сформулируйте свойство делимости суммы.
Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)
Сформулируйте свойство делимости произведения.
5. Реализация построенного проекта
А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)
Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.
Ну что вы были правы?(да)
6. Первичное закрепление.
Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.
Учебник (стр.104):
№ 350,357-устно
№ 358(в,г)-доска и тетрадь
№ 359,360(а,б)- дополнительно
Хорошо, молодцы.
А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.
7. Рефлексия деятельности на уроке.
Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.
Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)
Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)
А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.
8.Домашнее задание:
№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)
Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.
Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.
Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.
Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний
Математический диктант
| 1 вариант | 2 вариант |
а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12 |
1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6 |
а) любое число, кратное 90 |
2. Пусть F – множество чисел,
кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11 |
| 3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4 |
3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7 |
3. Усвоение новых знаний
Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.
Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.
1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b , и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда
a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),
и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.
В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.
2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.
Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .
3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.
Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.
Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.
4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.
Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.
При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:
Одно из п последовательных целых чисел делится на п;
Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;
Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.
Пример 1
Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.
333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.
Пример 2
Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.
Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.
Пример 3
Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х 3 –10х 2 -6х + 240 =0.
Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство
17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.
Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.
Пример 4
Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n 2 - 1 делится на 24.
Имеем n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.
Итак, разность n 2 -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.
Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.
4. Подведение итогов
5. Домашнее задание
Делимость - способность одного числа делиться на другое.
Пусть a и b – натуральные числа и a больше или равно b. Говорят, что a нацело делится на b, если существует натуральное число c, при умножении которого на b получается a
I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ.
1) ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ЗАДАЧА. Делится ли произведение 369 * 555 на 37?
Число 555 делится на 37, т.к. 37 * 15 = 555, ТОГДА 369 * 555 = 369 (15 * 37) = (369 * 15) 37, т.е. число 369 * 555 делится на 37.
СВОЙСТВО I (признак делимости произведения).
Если одно из двух (или более чисел) делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.
СВОЙСТВО II. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.
УПРАЖНЕНИЕ.
Не выполняя вычислений, укажите произведения, значения которых делятся на 5:
28 *25; 73 * 50; 34 * 12; 33 * 25; 36 * 7; 94 * 18; 13 * 45 * 8; 5 * 7 * 11.
Свойство II позволяет сделать два вывода:
1) Если число a делится на число b, то число a делится на каждый делитель числа b.
2) Если число a не делится хотя бы на один делитель числа b, то число a не делится на число b.
ПРИМЕРЫ.
1) Если число 612 делится на 12, то оно делится на любой из делителей этого числа: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
2) Если число 725 не делится на 3, то оно не будет делиться ни на одно число, кратное 3: 6; 9; 12; 15; 18; 21 и т.д.
3) Нечетное число не имеет четных делителей.
На вопрос, как разделить произведение на число, отвечает следующее правило.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО. Чтобы разделить произведение двух или нескольких чисел на заданное число, нужно на это число разделить только один множитель, а остальные оставить без изменения и затем выполнить умножение.
НАПРИМЕР:
1) (125*450):25 = (125:25)*450 = 5*450 = 2250;
2) (24*5*17):12 = (24:12)*5*17 = 2*5*17 = 170.
УПРАЖНЕНИЕ.
Раздели на 9 произведения:
28*9*35; 18*752*8000; 76*512*360; 155*810*34; 4500*7*398; 83*63000*98.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И РАЗНОСТИ.
ЗАДАЧА. Разделить число 7248 на 12.
Число 7200 делится на 12, потому что 7200 = 12*600; 48 тоже делится на 12, потому что 48 = 12*4. Из этого следует, что 7248 делится на 12, потому что на основании распределительного закона умножения можно записать:
7248 = 7200 + 48 = 12*600 + 12*4 = 12*(600 + 4) = 12*604.
Значит, 7248: 12 = 7200: 12 + 48: 12 = 600 + 4 = 604.
ЗАДАЧА. Разделить на 7 число 1323.
Рассуждая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем:
1323 = 1400 – 77 = 7*200 – 7*11 = 7*(200 -11) = 7* 189.
Значит, 1323: 7 = 1400:7 – 77:7 = 200 – 11 = 189.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ НА ЧИСЛО (РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО).
Приведенные решения позволяют сделать несколько выводов.
СВОЙСТВО I (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое суммы делится на заданное число, то и вся сумма делится на это число.
СВОЙСТВО II (признак делимости разности). Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на заданное число, то и разность делится на это число.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ СУММЫ НА ЧИСЛО. Чтобы сумму двух или нескольких слагаемых разделить на заданное число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО. Чтобы разность разделить на заданное число, нужно на это число разделить и уменьшаемое, и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
ЗАМЕЧАНИЕ.Если более одного слагаемого суммы не делятся на заданное число, то сумма может делиться и не делиться на это число.
УПРАЖНЕНИЕ.
Укажите выражения, которые кратны 7:
28+35; 44+12; 25+35*2; 14+23; 7*15+42; 12*63+8*19.
Для закрепления материала решить следующие задания.
1) Объясните, почему следующие произведения делятся на 12:
12*48; 12*120; 120*51; 24*17; 11*36; 13*48.
2) Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на заданное число:
а) 508*12 на 3;
б) 85*3719 на 5;
в) 2510*74 на 37;
г) 45*26*36 на 15;
д) 210*29 на 3 и на 29;
е)3800*44*18 на 11, 100 и 9?
3)Подберите три значения x так, чтобы произведение: а) 3x делилось на 5;
б) 12x делилось на 7; в) 9x делилось на 6;
г) 8x делилось на 14.
4)Представляя число в виде суммы, докажите, что:
а) 123123 делится на 123;
б)111333 делится на 111.
2.Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.
Используя свойства делимости и данные о делимости на число к
каждого слагаемого, определите, делится ли на к
сумма или произведение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | ||
| н | д | д | ||
| д | н | д | ||
| д | д | н | ||
| н | н | д | ||
| н | д | н | ||
| д | н | н | ||
| н | н | н |
Решение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | д | д |
| н | д | д | н | д |
| д | н | д | н | д |
| д | д | н | н | д |
| н | н | д | Может делиться, может не делиться | д |
| н | д | н | Может делиться, может не делиться | д |
| д | н | н | Может делиться, может не делиться | д |
| н | н | н | Может делиться, может не делиться | н |
Задание 2.
Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 3.
Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
Б) Ложное. Пример: 6 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
В) Ложное. Пример: 6 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
Простые и составные числа (7ч.)
6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10,
в то время как другие, например,
не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число
c = a b (1.1)
является произведением двух чисел a и b , то мы называем а и b множителями или делителями числа с . Каждое число имеет тривиальное разложение на множители
с = 1 с = с 1. (1.2)
Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с .
Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным . Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (1.2), то оно называется простым . Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:
Теорема 1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.
Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р . Тогда р – простое число, так как если бы р – было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.
Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какойлибо его нетривиальный делитель?
Первое, что может прийти в голову, – это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с . Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c , так как в противном случае мы получили бы
ab > √с √с ,
что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие – √с.
Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.
Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым.
Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с .
Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000.
Система задач 3.1.
1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.
2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.
3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.
4. Биографическая миниатюра. Д. X. Лемер.
Теорема 1 (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на нат. число с, то и сумма чисел делится на с. Док-во: пусть а⋮с и в⋮с. Тогда существуют нат.числа q 1 и q 2 такие, что а=сq 1 и в=сq 2 . Имеем: а+в=сq 1 +cq 2 = c(q 1 +q 2). Так как числа q 1 и q 2 натуральные, то q 1 +q 2 также число натуральное. Тогда из равенства а+в=с(q 1 +q 2) следует, что (а+в)⋮с. П: Числа 96 и 48 делятся на 12,значит,их сумма 96+48=144 также делится на 12. Утверждение, обратное данной теореме неверно,т.е. если двух чисел a и b делится на некоторое число с, то это не значит, что каждое слагаемое, из которых состоит эта сумма, делится на число с. Теорема 2 (о делимости разности). Если каждое из чисел а и в делится на натуральное число с и в ≤ а, то разность этих чисел делится на с. Теорема 3 (о делимости произведения). Если хотя бы один из множителей делится на число с, то и произведение делится на это число с. Док-во. Пусть а ⋮ с.Тогда по определению отношения делимости существует натуральное число q такое, что а= сq. Рассмотрим число а ∙ в = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Поскольку число qв-натуральное, то из последнего равенства следует, что (ав) ⋮ с. Теорема4 (о делимости произведения). Если в произведении ав двух множителей первый множитель делится на натуральное число с, а второй множитель делится на натуральное число d, то это произведение делится на сd. Док-во.По условию a=cq 1 и b=dq 2 ,где q 1 , q 2 ∈ N. Тогда ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙q 2), где q 1 ∙ q 2 ∈ N. Следовательно,(ав) ⋮ (с d). П: т.к.число 30 делится на 5, а число 14 делится на 7, то произведение 30 и 14 делится на произведение 5 и7, т.ею(30 14) делится на(5 7). Действительно, 30 14=420; 5 7=35, и 420:35=12,т.е.420 35.
21.Признак делимости паскаля .Теорема: нат.число а, заданное в десятичной системе счисления, делится на натуральное число в тогда и только тогда, когда на в делится сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц (1,10,10 2 ,10 3 , …,10 п). Док-во: пусть а =а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 . Пусть при делении на в числа 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 п дают остатки r 1 , r 2 , r 3 , …, r п-1 , r п. По теореме о делении с остатком имеем: 10=вq 1 +r 1 , 10 2 =вq 2 +r 2 , 10 3 =вq 3 +r 3, …, 10 п-1 =вq п-1 +r п-1 , 10 п =вq п +r п. Преобразуем данное число а к виду: а=а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 = а п 10 п +а п-1 10 п-1 +…+а 2 10 2 +а 1 10 1 +а 0 = а п (вq п +r п)+ а п-1 (вq п-1 +r п-1)+ …+ а 2 (вq 2 +r 2)+ а 1 (вq 1 +r 1) +а 0 = (а п q п +а п-1 q п-1 +… +а 2 q 2 +а 1 q 1) в+ (а п r п +а п-1 r п-1 + …+ а 2 r 2 + а 1 r 1 +а 0). Видим, что первое слагаемое делится на в, т.к.содержит мн.в. Для того чтобы данное число а делилось на в, необходимо и достаточно, чтобы и второе слагаемое делилось на в,т.е.на в должно делиться число с=а 0 +а 1 r 1 + а 2 r 2 + …+ а п-1 r п-1 +а п r п. Это число и есть сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц. П: покажем, что число 65345 делится на 7. Найдём остатки от деления на 7 разрядных единиц 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Если остаток будет близок к числу 7, то будем заменять его недостатком, то есть числом единиц, недостающих для делимости нацело на 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r 2 =2; 10 3:7, r 3 = -1; 10 4:7, r 4 =-3. Тогда с=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Т.к.0 делится на 7, то и число 65345 делится на 7.
Понятие о рациональном числе. Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел .
Рациональное число - число, представляемое обыкновенной дробью , числитель м - целое число, а знаменатель п - натуральное число, к примеру 2/3. Множество положительных рациональных чисел обозначают Q + . Покажем, что все нат.числа содержатся в этом множестве, т.е.что N c Q + .Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается нат.числом м. Разобьём отрезок е на п равных частейю Тогда п-я доля отрезка е будет укладываться в отрезке а м п раз, т.е.длина отрезка а будет выражаться дробями вида . Но мн.этих дробей есть положит.рациональное число. Следовательно, длина отрезка а, с одной стороны, выражается нат.числом м, а с другой- полож.рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида яв-ся записями нат.числа м. Из этого следует, что любое нат.число м можно представить в виде дроби , следовательно N c Q + . Все нат.числа содержатся в мн.полож.рац.чисел. Числа, которые дополняют мн.нат.чисел до мн.полож.рацион.чисел, называют дробными числами.
Сложение и вычитание рациональных чисел. Законы сложения .
Суммой рациональных чисел и называют рациональное число . Т.к.любые две дроби могут быть приведены к общему знаменателю, то сумма рациональных чисел и будет равна: + = + = . Сумма рациональных чисел всегда существует и единственная. Теорема: операция сложения рациональных чисел обладает коммутативным и ассоциативным свойствами, т.е. 1. ( а,в Q) а+в= в+а (коммутативность сложения); 2. ( а,в,с Q)(a+в)+с= а+(в+с) (ассоциативность сложения). Законы сложения: переместительный- а+в=в+а для любых а,в Q + ; сочетательный- (а+в)+с= а+(в+с) для любых а, в, с Q + . Разность дробей и называется дробь такая, что + = . Согласно определению - = + = . Выведем правило вычитания дробей, т.е.найдём значение дроби . Т.к. + = , то = . Отсюда: (py+xq) n= (qy) m или pyn+xqn=qум, х(qп)= у(qм-pn). Из последнего равенства будем иметь: = . Таким образом, получили: - = . В частности, - = . Для рациональных чисел верно утверждение: разность рациональных чисел всегда существует и единственная. Это значит, что каких бы два рациональных числа ни были даны, разность их всегда можно найти, т.е.вычитание обыкновенных дробей всегда выполнимая операция.
Отношение порядка на множестве рациональных чисел. Свойства множества рациональных чисел (бесконечность, упорядоченность, счётность, плотность) .
Mq np или mq np. Для целых чисел это также верно: а в или а 1 в 1. П: сравним дроби и . 19 27=513 и 23 25= 575 и сравним их. Т.к. 513 575, то . Теорема: отношение «меньше» на мн.рацион.чисел транзитивно, асимметрично и антирефлексивно, т.е. 1) и , то - транзитивность; 2) , то неверно, что - асимметричность; 3)неверно, что - антирефлексивность. Из теорем следует, что отношение «меньше» на множестве Q рациональных чисел яв-ся отношением строгого линейного порядка, а само мн.Q- линейно упорядоченным множеством. Свойства мн.рацион.чисел : 1.Мн.Q рациональных чисел счётное, т.е.его элементы можно пронумеровать с помощью нат.чисел.
N: 1,2, 3, 4, 5, 6.
Из графика видим, что Q N, значит, мн.Q счётное.
2.Мн.Q рациональных чисел бесконечное. Это вытекает из того, что Q N, а мн.N бесконечное. 3.Во мн.положительных рац.чисел нет наименьшего числа. 4.Мн.Q рац.чисел плотное. Это значит, что между любыми двумя различными рац.числами а и в мн.Q лежит бесконечное мн.рац.чисел. 5.Каждому рац.числу соответствует единственная точка координатной прямой, но не каждой точке будет соответствовать рац.число. Соответствие между мн.Q рац.чисел и мн.точек координатной прямой не яв-ся биективным.
Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел .
Иррациональное число- это число, которое выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Иррац.числа получаются не только при извлечении корней из некоторых чисел ( ; ), не только при измерении длин отрезков, но и при решении практических задач, например, при измерении площади, вычислении отношения длины окружности к её диаметру (). П: числа 0,0100100010000100…; 45,3232232223222232…; =3,141592…; =1,732050…; =1,414213… яв-ся иррац., т.к.они яв-ся бесконечными непериодическими десятичными дробями (в них невозможно выделить период). Мн.полож.иррац.чисел обозначают I + . Объединение мн.полож.рац.чисел и мн.полож.иррац.чисел образует мн.полож.действительных чисел, которое обозначается R + , т.е. R + =Q + I + , причём Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Мн. R + делится на два класса: 1.класс бесконечных периодических десятичных дробей; 2.класс бесконечных непериодических десятичных дробей. Конечные десятичные дроби можно также считать бесконечными периодическими дробями с периодом равным 0. Н: 0,4=0,40000… Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом, равным 9.
Упорядоченность множества положительных действительных чисел. Свойства множества положительных действительных чисел .
Отношение «меньше» на мн.R + яв-ся отношением строгого линейного порядка, это значит, оно асимметрично (если х у, то у х), транзитивно (если х у, у z, то х z) и связно (либо х=у, либо х у, либо у х). Из этого следует, что мн.R + положительных действительных чисел яв-ся упорядоченным множеством. Его элементы можно упорядочить с помощью отношения «меньше». Мн. R + плотно в себе, т.е.между любыми двумя действительными числами лежит бесконечное мн.действительных чисел. Н: между числами 1,2 и 1,3 лежат числа 1,21; 1,211 и т.д. Мн. R + яв-ся непрерывным, т.е.если числовое множество Х располагается слева от числового мн.Y, то найдётся хотя бы одно число, которое разделяет эти множества. Мн.полож.действ.чисел несчётно. Док-во (методом от противного): докажем, что ни при каком упорядочивании мн. R + пронумеровать его числа невозможно. Предположим, что элементы мн. R + удалось пронумеровать: 1 м 1 ,а 1 а 2 а 3 …; 2 м 2 , в 1 в 2 в 3 …; 3 м 3 ,с 1 с 2 с 3 …; …., где м i - целая часть числа, буквы а,в,с,… представляют собой десятичные знаки после запятой. Предположим, что эта последовательность дробей описывает все действительные числа. Возьмём число z=0, авс…, где а а 1 , в в 2 , с с 3 и т.д. Это новое число z отличается от первого числа десятыми долями, от второго- сотыми, от третьего- тысячными и т.д. Оно отличается от п-го числа в последовательности п-ой цифрой дробной части. Значит, появилось новое число z, которое не пронумеровали. Это противоречит предположению о том, что пронумеровали все действительные числа. Таким образом, доказано, что мн. R + несчётное. Мн. R + бесконечное(доказывается методом от противного).
Арифметические операции на множестве всех действительных чисел .
Суммой двух дейст.чисел х и у называется дейст.число, которое удовлетворяет след.условиям: 1)сумма полож.чисел есть число положительное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: |х+у|=|х|+|у|; 2)сумма отриц.чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: (-х)+(-у)=-(х+у); 3)сумма двух чисел с разными знаками есть число, которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей слагаемых: если х у, то х+(-у)=х-у; если х у, то х+(-у)= -(у-х). Операции сложения во мн.R коммутативна ( х,у R) х+у=у+х и ассоциативна ( х,у,z R)(x+y)+z= x+(y+z). Число 0 яв-ся нейтральным элементом относительно сложения, т.е.х+0=0+х=х. Операция вычитания во мн.R определяется как операция, обратная сложению. Т.к.для каждого в R существует число- в такое, что в+(-в)=0, то вычитание равносильно сложению с числом-в, т.е.а-в=а+(-в). Произведением двух действительных чисел х и у называется дейст.число z, которое удовлетворяет условиям: 1)модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |х у|=|х|∙|у|; 2)знак в произведении двух чисел положителен, если знаки множителей одинаковые; 3)знак в произведении двух чисел отрицателен, если знаки множителей разные. Операция умножения во мн.R коммутативна ( х,у R)x∙y=y∙x; ассоциативна ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); дистрибутивна ( x,y,z . 1-нейтральный элемент относительно умножения: х∙1=1∙х=х; 0- поглощающий элемент относительно умножения: х∙0=0∙х=0. Деление дейст.чисел можно рассматривать как действие, обратное умножению, т.к.х:у=х ∙ , где у Деление на 0 во множестве R невозможно.
Длина отрезка и её измерение .
Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков. В математике рассматривают две взаимно обратные задачи, связанные с длиной отрезка: измерение длины отрезка а с помощью отрезка е, выбранного за единичный отрезок, и построение отрезка а по заданной его длине. Св-ва длины отрезка 1.При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается зтим числом.2.Если два отрезка равны, то числовые значения их длин также равны, и наоборот: если числовые значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки. a=b (a) = (b). 2.Если данный отрезок состоит из конечного числа отрезков, числовое значение его длина равно сумме числовых значений длин составляющих отрезков, и наоборот: если числовое значение длины отрезка равно сумме числовых значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков. c= a+ b (c) = (a) + (b). Покажем это. Пусть a = e, b= e. a+b = ( + 4. Если длины отрезков а и в такие, что в = ха, где х – положительное действительное число, то, чтобы найти числовое значение длины отрезка b при единице измерения е, достаточно найти произведение число х и числового значения длины отрезка а при единице е. b = xa (b) = x (a). Пусть b = xa и a = e, тогда в=х е= (х )е. 5.При замене единицы длины значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой. Пусть даны две единицы длины е и е 1 такие, что е 1 =ке. Это значит, что новая единица в к раз больше старой. Тогда если а= е, то при переходе к новой единице будем иметь: а= 1 = е 1 . Число в к раз меньше числа . П: 14м=14 1м=14 =(14 1400 см. Полученное число 1400 в 100 раз больше числа 14, т.к.новая единица длины- сантиметр-в 100 раз меньше метра.
Площадь фигуры и её измерение .
Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Чтобы измерить площадь фигуры, надо иметь единицу площади. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной е. Площадь квадрата со стороной е обозначается е 2 . Н., S=20см 2 при единице площади1 см 2 . Измерение площади фигур с помощью палетки. Палетка-это сетка квадратов, нанесённая на прозрачный материал. Измерение с помощью палетки яв-ся приблизительным и вычисляется по формуле: S , где S 1 - площадь внутренней системы квадратов, S 2 - площадьсистемы квадратов, которые целиком покрывают фигуру. Другие способы измерения площадей фигур состоят в применении формул дляих вычисления: 1.Площадь прямоугольника: S=ab, где a- длина, b- ширина прямоугольника. 2.Площадь параллелограмма: S=ah, где a- длина стороны параллелограмма, h- его высота. 3.Площадь треугольника: S= ah, где a- длина стороны треугольника, h- его высота. 4.Площадь ромба: S= d 1 d 2 , где d 1 и d 2 - длины диагоналей ромба. 5.Площадь трапеции: S= , где a и b- длины оснований трапеции, h- её высота. 6.Площадь круга: S= 2 , где R- длина радиуса круга. Площади плоскихфигур обладают св-ми: а)площади равных фигур при одной и той же единице площади равны между собой. б)если фигура F состоит из фигур F 1 ,F 2 ,…,F n , то значение площади фигуры F равно сумме площадей фигур F 1 , F 2 ,…, F п при одной и той же единице площади. в)при замене единицы измерения площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько раз новая единица измерения меньше (больше) старой.П: 12 м 2 =12 2 = 12 2 = 1200дм 2 . Первоначальную единицу измерения 1м 2 уменьшили в 100 раз, а значение площади увеличилось в 100 раз. Это связано с тем, что 1м 2 =100дм 2 , а 1дм 2 =0,01м 2 .
Лекция 4. Делимость на множестве целых неотрицательных чисел
1. Понятие отношения делимости, его свойства.
2. Признаки делимости суммы, разности, произведения.
3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9 (два доказать).
В начальном курсе математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются.
Отношение делимости и его свойства
Рассмотрим отношение делимости на множестве целых неотрицательных чисел.
Определение 1. Пусть даны целые неотрицательные числа а и b . Говорят, что число а b , если существует такое целое неотрицательное число q , что а=bq . В этом случае число b называют делителем числа а , а число а - кратным числа b.
Обознаение: а b и говорят а кратно b , а b называют делителем числа а .
Заметим, что понятие "делитель данного числа" следует отличать от понятия "делитель", обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия "делитель" и "делитель данного числа" совпадают.
Замечание. Из определения 1 и равенства а=1а , следует, что 1 является делителем любого целого неотрицательного числа.
Свойства отношения делимости:
Отношение делимости рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.
Теорема 1. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя 
.
Доказательство:
Для 
справедливо равенство а=а 1. Т.к. 1 , то по опр. 1 .
Теорема 2. Отношение делимости антисимметрично, т. е.
Доказательство (методом от противного): Предположим, что 
. Тогда очевидно, что b≥a. Но по условию 
и значит а≥b. Выполнение этих неравенств возможно только при а=b, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и справедливость свойства установлена.
Теорема 3. Отношение делимости транзитивно, то есть
Доказательство:
Т.к. , то по опр.1 
. Аналогично, т.к. b с, то 
.
Тогда a=bq=(cp)q=c(pq). Число рq- натуральное. Это означает по опр.1, что а с.
Таким образом, отношение делимости на множестве N, обладая свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, является отношением нестрогого порядка.
Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел
Теорема 4 (признак делимости суммы): Если каждое слагаемое суммы делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число, то есть
если 
.
Доказательство:
Пусть 
. Тогда существуют q 1 ,q 2 ,…q n 
N такие, что выполняются равенства: а 1 =bq 1 , а 2 =bq 2 , …, а 1 n = bq n . Из этих равенств следует, что а 1 +а 2 +…а n =bq 1 +bq 2 +…+bq n =b(q 1 +q 2 +…+q n), где q 1 +q 2 +…+q n =q N 0 . По определению отношения делимости это означает, что 
.
Теорема 5 (признак делимости разности): Если каждое из чисел а и b делится на с и а≥b , то разность а-b делится на с , т. е. если .
Доказательство:
Пусть 
. Тогда существуют q 1 ,q 2 N такие, что а=cq 1 , b=cq 2 . Поскольку а≥b, то q 1 >q 2 . Таким образом, имеем а-b
=cq 1 -cq 2 =c(q 1 -q 2)=cq,
где q 1 -q 2 =q
N. Следовательно, 
.
Теорема 6 (признак делимости произведения):
Если хотя бы один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на это число, то есть 
.
Доказательство:
Пусть а k b, тогда существует q N такое, что а k =bq. Отсюда, используя коммутативный и ассоциативный законы умножения, можем записать 
. Поскольку произведение целых неотрицательных чисел является целым неотрицательным числом, то последнее равенство означает, что 
.
Теорема 7:
Если в произведении ab
множитель а
делится на натуральное число m
, а множитель b
делится на натуральное число n
, то произведение ab
делится на произведение nm
, то есть 
.
Доказательство:
Пусть a m и b n, тогда существуют q 1 ,q 2 N такие что, a=mq 1 , b=nq 2 . Отсюда на основании комм. и ассоц. законов умножения имеем ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, где q 1 q 2 =q N . следовательно, ab mn.
Теорема 8: Если в сумме одно слагаемое не делится на натуральное число b , а все остальные слагаемые делятся на это число, то и вся сумма на число b не делится.
Доказательство:
Пусть S=a 1 +a 2 +…+a n +c, где а 1 b, a 2 b, …, a n b, но 
. Докажем, что 
. Предположим противное, то есть S b. Тогда с=S-(a 1 +a 2 +…+a n), где S b, и (a 1 +a 2 +…+a n) b. По теореме о делимости разности это означает, что с b. Полученное противоречие и доказывает теорему.
Признаки делимости
Теорема 9 (признак делимости на 2) Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0,2,4,6,8.
Доказательство. Пусть число х
х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , где а n , а n-1,…, a 1 принимают значения 0, 1, 2, ...9, а n ≠0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х: .2.
Так как 10: .2, то 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 и, значит, (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : .2. По условию а 0 тоже делится на 2, поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число хделится на 2.
Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.
Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде: а 0 = х - (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а 0: . 2, поскольку х: . 2 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10) : . 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0,2,4,6,8.
Теорема 10 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказать самостоятельно!
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Теорема 11 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х .
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е.
х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х: . 4.
Так как 100: . 4, то (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, тo двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.
Запишем равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 в таком виде:
а 1 · 10 + а 0 = х- (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) .
Так как х: . 4 и (а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 · 10 2) : . 4, то по теореме о делимости разности (а 1 · 10 + а 0) : . 4. Но выражение а 1 · 10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Теорема12 (признак делимости на 9) Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9.
Доказательство . Докажем сначала, что числа вида 10 n - 1 делятся на 9. Действительно, 10 n - 1 = (9·10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + 10 n-2)-1 = (9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+10)-1=9·10 n-1 +9·10 n-2 + …+9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10 n - 1 делится на 9.
Пусть число х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 и (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9. Докажем, что тогда х: . 9.
Преобразуем сумму а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 , прибавив и вычтя из нее выражение a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 и записав результат в таком виде:
х = (а n ·10 - a n)+( а n-1 ·10 n-1 - a n-1)+…+( а 1 · 10 - a 1)+ (а 0 – а 0)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0)= =а n ·(10 n -1)+ a n-1 ·(10 n-1 -1)+…+ a 1 ·(10 -1)+ (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0).
В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:
а n ·(10 n -1) : . 9, так как (10 n -1) : . 9,
a n-1 ·(10 n-1 -1) : . 9,так как(10 n-1 -1) : . 9 и т.д.
a 1 ·(10 -1) : . 9, так как (10- 1) : . 9,
(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 по условию.
Следовательно, х: . 9.
Докажем обратное, т.е. если х: . 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.
Равенство х = а n ·10 + а n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 · 10 + а 0 запишем в таком виде:
a n +a n-1 +…+a 1 +a 0 = х - (а n (10 n - 1) + а n-1 ·(10 n-1 -1) +…+ a 1 ·(10 -1).
Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа x делится на 9, что и требовалось доказать.
Теорема15 (признак делимости на 3): Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилась на 3.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.