Секция Математика

«Язык математики»

Выполнила Шаповалова Анна

Научный руководитель

учитель математики высшей квалификационной категории.

Введение.

Увидев в кабинете высказывание Г. Галилея «Книга природы написана языком математики» я заинтересовалась: а что же это за язык?

Оказывается, Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.

И вот, что бы найти ответ на вопрос о математическом языке, я изучила много литературы, материалов из интернета.

В, частности, нашла в Интернете «Историю математики» , где узнала этапы развития математики и математического языка.

Я постаралась ответить на вопросы:

· как возник математический язык;

· что собой представляет математический язык;

· где он распространен;

· действительно ли он универсален.

Я думаю, это будет интересно не только мне, т. к. все мы пользуемся языком математики.

Поэтому целью моей работы стало изучение такого явления как «математический язык» и его распространение.

Естественно, что объектом исследования будет математический язык.

Я сделаю анализ применения математического языка в различных областях науки (естествознании, литературе, музыке); в повседневной жизни. Докажу, что этот язык действительно универсален.

Краткая история развития математического языка.

Математика удобна для описа­ния самых разнообразных явлений реального мира и тем самым может выполнять функцию языка.

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии , сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т. п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции , исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Язык современной математики - результат ее длительного развития. В период своего за­рождения (до VI в. до н. э.) математика не имела собственного языка. В процессе формирования письменности появились математические знаки для обозначения некоторых натуральных чисел и дробей. Математический язык античного Рима включает дошедшую до наших дней систему обозначения целых чисел был скуден:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,..., L,..., C,..., D,..., M.

Единица I символизирует зарубку на посохе (не латинскую букву I - это позднее переосмысление). Усилие, уходящее на каждую зарубку, и занимаемое ею место на, скажем, пастушеской палке, заставляет переходить от просто системы обозначения чисел

I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, . . .

к более сложной, экономной системе скорее «имен», чем символов:

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

2. Перловский Л. Сознание, язык и математика. "Русский журнал" *****@***ru

3. Грин Ф. Математическая гармония природы. Журнал « Новые Грани» №2 2005 года

4. Бурбаки Н. Очерки по истории математики, М.: ИЛ, 1963.

5. Стройк Д. Я «История математики» - М.: Наука, 1984.

6. Эвфоника «Незнакомки» А. М.ФИНКЕЛЬ Публикация, подготовка текста и комментарии Сергея ГИНДИНА

7. Эвфоника «Зимней дороги» . Научный руководитель – учитель русского языка

Математика 7 класс.

Тема урока:"Что такое математический язык".

Федоровцева Наталья Леонидовна

Познавательные УУД: формировать умение переводить математические словесные выражения в буквенные выражения и объяснять значение буквенных выражений

Коммуникативные УУД: воспитывать любовь к математике, участвовать в коллективном обсуждение проблем, уважение друг к другу, умение слушать, дисциплинированность, самостоятельность мышления. Регулятивные УУД: умение обработать информацию и переводить задачу с родного языка на математический. Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, адекватную самооценку, необходимость приобретения новых знаний, воспитывать ответственность и аккуратность.
Работа с текстом. На математическом языке многие утверждения выглядят яснее и прозрачнее, чем на обычном. Например, на обычном языке говорят: "От перемены мест слагаемых сумма не меняется". Слыша это, математик пишет(или говорит) а +в = в +а. Он переводит высказанное утверждение на математический, в котором используются разные числа, буквы (переменные), знаки арифметических действий, иные символы. Запись а + в = в + а экономна и удобна для применения. Возьмём другой пример. На обычном языке говорят: " Чтобы сложить две обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения".

Математик осуществляет «синхронный перевод» на свой язык:

А вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон:

Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и c, надо число a умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».

Во всяком языке есть письменная и устная речь. Выше мы говорили о письменной речи в математическом языке. А устная речь - это употребление специальных терминов, например: «слагаемое», «уравнение», «неравенство», «график», «координата», а также различные математические утверждения, выраженные словами.

Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Это не самое веселое занятие, интереснее сразу читать и говорить. Но так не бывает, придется набраться терпения и сначала изучить основы. И, конечно, в результате такого изучения ваши представления о математическом языке будут постепенно расширяться.

Задания. 1. Ознакомление. Прочитайте текст самостоятельно и запишите виды математического языка. 2.Понимание. Приведите пример (не из текста) устной и письменной речи в математическом языке. 3.Применение. Проведите эксперимент, подтверждающий, что математический язык, как и любой другой язык является средством общения, благодаря которому мы можем передать информацию, описать то или иное явление, закон или свойство.

4. Анализ. Раскройте особенности математической речи.

5.Синтез. Придумайте игру для 6-го класса "Правила действий с положительными и отрицательными числами". Сформулируйте их на обычном языке и постарайтесь осуществить перевод этих правил на математический язык.

«Как часто в обыденной жизни используются математические термины?»

В выступлениях Чубайса часто слышим мы слова
«Объединение субъектов, и энергетика цела», А какой-то строгий лидер постоянно говорит: «Разделить пора Россию, вот тогда мы будем жить» Президент Владимир Путин уверяет нас всегда: «Поворота в прошлое не будет никогда!» Вот и наши лидеры, убедились в том, Говорят нередко математическим языком.

«В медицине без математического языка не обойтись».

В медицине градусы, параметры, давление.

Все, кто там работает, знают эти термины.

математический язык в школе

Учителя истории, и химии, и физики
Не могут не использовать язык математический. Он нужен в биологии, там корень у цветочка есть, Он нужен в зоологии, там много позвоночков есть, И наши литераторы, читая биографию Известного писателя, указывают даты все. И ваши одноклассники, спрашивая время, Не могут двух минут дожить до перемены.

в газетах используется математический язык:

Да, если откроешь наши газеты,
Они все-все в цифрах пестрят. Оттуда узнаешь, бюджет убывает, А цены растут, как хотят.

Математический язык на улице,на тренировках по футболу:

Язык математический используют всегда
Прохожие на улице «Как чувствуешь? Дела?» «Работаю всё время, пять соток сад взяла, Какое там здоровье, прожить бы года два». И тренер по футболу на пацанов кричит: «Вы набирайте скорость, мяч в центр уже летит.

Вывод сделаем такой с сегодняшнего уроке
Всем нам нужен язык математики, он очень убедительный. Чёткий и конкретный он, строгий, однозначный, Помогает в жизни всем решать свои задачи. Это делает его очень привлекательным. И, считаю, в нашей жизни он просто обязательны

Действия с отрицательными и положительными числам

Абсолютной величиной (или абсолютным значением) называется положительное число, получаемое от перемены его знака (-) на обратный (+) . Абсолютная величина -5 есть +5 , т. е. 5 . Абсолютной величиной положительного числа (а также числа 0 ) называется само это число. Знак абсолютной величины - две прямые черты, в которые заключается число, абсолютная величина которого берется. Например,
|-5| = 5,
|+5| = 5,
| 0 | = 0. Сложение чисел с одинаковым знаком. а) При двух чисел с одинаковым знаком складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий их знак. Примеры. (+8) + (+11) = 19; (-7) + (-3) = -10.
6) При сложении двух чисел с разными знаками из абсолютной величины одного из них вычитается абсолютная величина другого (меньшая из большей) а ставится знак того числа, у которого абсолютная величина больше. Примеры. (-3) + (+12) = 9;
(-3) + (+1) = -2. Вычитание чисел с разными знаками. одного числа из другого можно заменить сложением; при этом уменьшаемое берется со своим знаком, а вычитаемое с обратным.Примеры. (+7) - (+4) = (+7) + (-4) = 3;
(+7) - (-4) = (+7) + (+4) = 11;
(-7) - (-4) = (-7) + (+4) = -3;
(-4) - (-4) = (-4) + (+4) = 0;
Замечание. При выполнении сложения и вычитания, особенно когда имеем дело с несколькими числами, лучше всего поступать так: 1) освободить все числа от скобок, при этом перед числом поставить знак « + », если прежний знак перед скобкой был одинаков со знаком в скобке, и « - », если он был противоположен знаку в скобке; 2) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак + ; 3) сложить абсолютные величины всех чисел, имеющих теперь слева знак - ; 4) из большей суммы вычесть меньшую и поставить знак, соответствующий большей сумме.
Пример. (-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2);
(-30) - (-17) + (-6) - (+12) + (+2) = -30 + 17 - 6 - 12 + 2;
17 + 2 = 19;
30 + 6 + 12 = 48;
48 - 19 = 29.

Результат есть отрицательное число

-29 , так как большая сумма (48) получилась от сложения абсолютных величин тех чисел, перед которыми стоили минусы в выражении -30 + 17 – 6 -12 + 2. На это последнее выражение можно смотреть и как на сумму чисел -30, +17, -6, -12, +2, и как на результат последовательного прибавления к числу -30 числа 17 , затем вычитания числа 6 , затем вычитания 12 и, наконец, прибавления 2 . Вообще на выражение а - b + с - d и т. д. можно смотреть и как на сумму чисел (+а), (-b), (+с), (-d), и как на результат таких последовательных действий: вычитания из (+а) числа (+b) , прибавления (+c) , вычитании (+d) и т. д. Умножение чисел с разными знаками При двух чисел умножаются их абсолютные величины и перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.
Схема (правило знаков при умножении):

+

Примеры. (+ 2,4) * (-5) = -12; (-2,4) * (-5) = 12; (-8,2) * (+2) = -16,4.

При перемножении нескольких сомножителей знак произведения положителен, если число отрицательных сомножителей четно, и отрицателен, если число отрицательных сомножителей нечетно.

Примеры. (+1/3) * (+2) * (-6) * (-7) * (-1/2) = 7 (три отрицательных сомножителя);
(-1/3) * (+2) * (-3) * (+7) * (+1/2) = 7 (два отрицательных сомножителя).

Деление чисел с разными знаками

При одного числа на другое делят абсолютную величину первого на абсолютную величину второго и перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные (схема та же, что для умножения).

Примеры. (-6) : (+3) = -2;
(+8) : (-2) = -4; (-12) : (-12) = + 1.

“Философия природы написаны величайшие книги, но понять ее сможет лишь тот кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики» Галилей.

Язык современной математики это результат ее длительного развития. В период своего зарождения до 6 века, до Новой эры математика не имела собственного языка. Но по мере формирования письменности появились математические знаки для обозначения некоторых натуральных чисел и натуральных дробей. Математический язык античного Рима включает дошедшую до наших времен систему обозначения целых чисел (I, II, III, IV…). В русском языке числа записывались с особым знаком. Первыми буквами алфавита обозначали единицы следующие 9 букв 10-ки, а последние 9 букв 100-ни. Для обозначения больших чисел славяне придумали оригинальный способ. 10000-тьма, 10 тем-легион, 10 легионов - леодр, 10 леодров - ворон, 10 ворон – колода. И более сего несть человеческому уму разумевати. Язык математики – это искусственный формальный языке со всеми его недостатками и достоинствами.

Математика изучает объекты свойства которых точно сформулированы. Не все что сказано на естественном языке точно. Квадрат первого сложенный с квадратом второго и с удвоенным произведением первого на второго есть квадрат сумы двух. Разработка искусственного языка символов и формул была величайшим достижением науки в значительной мере определившим дальнейшее развитие математики. Язык математики употребляется во многих науках: в естествознании для объяснения природных явлений.

Количественный анализ и формулировка, качественно установленных фактов, обобщений и законов конкретных наук.

Построение математических моделей и даже создание новых направлений таких как математическая физика, биология, лингвистика.

Математический язык очень точен. Преимущества количественного языка математики в сравнении с естественным языком состоит в том, что такой язык весьма краток и точен. Например если нам надо выразить интенсивность какого-либо свойства с помощью обычного языка нам нужно использовать несколько десятков прилагательных, а если математически мы выберем шкалу для сравнения или выберем единицу измерения, то все отношения можно перевести на точный количественный язык. Математический язык выполняет 2 функции:

С помощью математического языка точно формулируется количественные закономерности характеризующие исследуемые явления. Точная формулировка законов и научных теорий на языке математики дает возможность при получении из них следствий применить богатый математический и логический аппарат. При этом надо отметить что существует тесная связь между естественным языком которая описывает качественные характеристики и количественным математических языком, причем чем лучше мы знаем качественные особенности явлений тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы. Математический язык это универсальный язык специально предназначенный для краткой и точной записи различных явлений.

Он служит источником моделей алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. С одной стороны любая математическая схема или модель это упрощающаю идеализация исследуемого объекта или явления, но с другой стороны упрощение позволяет ясно и однозначно понять суть объекта или явления.

Математический язык применяется в: литературе(стихосложение), в музыке.

Математический язык дал начало языку математической логике. Язык математической логики стал символическим языком современной математики. Он возник тогда когда неудобства математического языка для нужд математики было окончательно понятно. Формализация математики привела к более ясному осознанию природы самой математики. К применению ее нечисловым и не пространственным объектам (гены, языки, программы и тд). До тех пор пока наши знания у некоторой конкретной области не могут быть переведены на формальный математический язык единообразным методом мы не сможем осознать исходные понятия и их свойства настолько чтобы применять математические методы. Основная задача языка математики: дать точное и удобное определение математического суждения, то есть дать такой язык который удовлетворял бы трем требованиям.

На него возможно перевести математические утверждения.

Он допускал бы сравнительно легкий перевод на обычный язык.

Записи на нем были бы компактны и удобны в обращении.

Сама математическая логика начинается со второй задачи неразрывно связанной с основной задачей языка математики. Вторая задача основная задача логической семантики которая заключается в следующем: дать четкое и однозначное истолкование суждений формального языка одновременно как можно более простое и как можно более близкое к естественному математическому понимаю.

Подготовить доклад: «Такой простой знак равенства»

Язык математической логики исторически первый точно определенный формальный язык. Он появился в конце 19 века в трудах итальянского математика Пеано и его учеников. Современную форму этому языку предали Рассел и Гильберт. Язык математической логики ялвяется базой формальных языков программирования, математической лингвистики и искусственного интелекта.

Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.

Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане - не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.

В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.

Модели образования графических обозначений

На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону - «минус».

Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения - это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.

История возникновения математических символов и знаков знает два наиболее продуктивных способа образования графических элементов.

Преобразование словесного представления

Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами - процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.

Распространенный способ создания математических символов - трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.

Например, основной гипотезой происхождения знака «плюс» является его сокращение от латинского et , аналогом которого в русском языке является союз «и». Постепенно в скорописи первая буква перестала писаться, а t сократилась до креста.

Другой пример - знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.

Назначение произвольного символа

Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов - назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны - знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.

Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.

Простейшие операции

Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.

Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.

Впрочем, несмотря на установление определенной договоренности в научном сообществе, умножение и в наше время может изображаться тремя различными знаками (диагональный крестик, точка, звёздочка), а деление - двумя (горизонтальная черта с точками сверху и снизу или наклонная черта).

Латинские буквы

На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже - их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).

Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.

Гораздо большее было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R , т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.

Греческие буквы

В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.

Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.

Крайне распространенным знаком в математике является «дельта», отражающая величину изменения значения переменных. Ещё одним употребительным знаком является «сигма», выполняющая функцию знака суммы.

Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.

Знаки логики

Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.

В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.

Символы из области теории множеств были придуманы в 1888-1889 гг. А перечеркнутый круг, который сегодня известен любому учащемуся средней школы как знак пустого множества, появился в 1939 году.

Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.

Математические символы на английском

Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).

Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление - это Division, умножение - Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).

Таблица символов

Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков - посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.

Математические знаки в текстовом редакторе

При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.

Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.

В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.

Стоит ли учить математические символы

Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.

Человеческий мозг легко усваивает знаки, буквы и сокращения - математические обозначения запоминаются сами при изучении предмета. Понимание смысла каждого конкретного действия создает настолько прочные что знаки, обозначающие термины, а зачастую и формулы, связанные с ними, остаются в памяти на многие годы и даже десятилетия.

В заключение

Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие - стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.

Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов - как неотъемлемую его часть.

Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.