Датирована 1938 г. Литография, размеры: 47,5 на 27,9 см. Эта работа знаменитого голландского художника-графика, известного сложными концептуальными гравюрами и литографиями, во многом тесно переплетающимися с математикой, геометрией и стремлением воплотить невозможные реальности. […]

Мауриц Корнелис Эшер – график, известный в первую очередь своими литографиями и гравюрами. Его работы направлены в основном на психологическое исследование трехмерных объектов. Большое значение уделял понятиям искажения пространства, бесконечности и симметрии. […]

Мауриц Эшер был выдающимся австрийским художником, работающим в техники графики. Его гравюры, мозаики и литографии раскрывают не только художественные жанры, но и философские категории, такие, как бесконечность, абсолютная симметрия, золотое сечение, ну […]

М.Эшер является выдающимся графиком. Его работы индивидуальны и наполнены научным смыслом. Художник при помощи живописи изображал различные научные теории, порой сомнительного характера. Он разбирал вселенную на части и рисовал свои ассоциации. Его […]

Эшер в данном полотне, мастерски использует прием, который называется тесселяцией. Благодаря этому приему мастер очень искусно разделяет одну плоскость на несколько частей. Таким образом, ему удается покрыть все полотно плоскостями, которые сами […]

C 11 декабря 2013 года по 9 февраля 2014 года в Московском музее современного искусства в рамках Года Нидерландов в России прошла выставка графических работ Маурица Корнелиса Эшера (1898-1972).

Бабочки. 1948 год

Мауриц Эшер был самым младшим из четырёх братьев, с детства он отличался слабым здоровьем, болезни мешали ему получать образование, в частности он так и не смог получить аттестат зрелости, а впоследствии был отчислен из технического училища. Родители Эшера были обеспеченными людьми, отец являлся видным инженером, мать происходила из высокопоставленной аристократической семьи. И родители долгое время поддерживали младшего сына - даже и тогда, когда он сам стал главой немаленького семейства. Изобразительное искусство как увлечение, страсть и единственное занятие для себя в жизни Мауриц выбрал в школе искусств, куда первоначально поступил на курс архитектуры. Графика захватила воображение художника, и он начал создавать удивительные картины, совершенствуя, развивая, преобразовывая само понятие графики, сами принципы графического искусства.

Небо и вода. 1938 год

Другой мир. 1947 год

В возрасте 26 лет Мауриц Эшер женился на дочери промышленника из Швейцарии Джетте Уикер. У Маурица и Джетты родилось трое сыновей. А на крестинах первого сына Джорджа, родившегося в 1926 году, присутствовали король Италии и Муссолини. Семейство обосновалось в Италии, в окрестностях Рима. Собственный дом помогли купить родители с обеих сторон, и Эшер мог посвятить всё своё время творчеству. Вторая мировая война вынудила Эшеров перебраться в Нидерланды, где Мауриц и создал большую часть своих знаменитых работ.

Эшер - одно из тех имён в мировом изобразительном искусстве, которое стало не просто уникальным, а определяющим целое направление, целый пласт новаций и экспериментов, ставших в какой-то мере основой современного дизайна. Технические приёмы и сюжеты, стилистика и поразительные визуальные эффекты Эшера не сразу были оценены современниками, и лишь к концу жизни Мауриц Эшер получил повсеместное признание.

Звёзды. 1948 год

Предопределение. 1951 год

Выставка графики Маурица Эшера в музее современного искусства представила более 100 произведений, выполненных в различных графических техниках. Литографии, гравюры, линогравюры охватывали основные творческие периоды мастера, раскрывая особенности каждого из них. Раннее творчество Эшера - это книжная графика, книга «Святой Франциск», в иллюстрациях к которой уже просматриваются идеи, которые будут развиты и прорисованы в последующие годы. Итальянский период - это пейзажи и серии гравюр, изображающих насекомых и растений. Голландский период - это фаза расцвета таланта и мастерства художника, в этот период Эшер создал наиболее известные и интересные работы.

Три мира. 1955 год

Водопад. 1961 год

Мауриц Эшер в своих графических работах предвосхитил эру компьютерной графики и анимации. Его визуально трёхмерные структуры, являющиеся всё же изображениями на двумерной плоскости, заложили основы для будущих видео- и кино- спецэффектов. Интерпретации Эшером математических и геометрических парадоксов привели к созданию оптических иллюзий бесконечности, а также наглядной демонстрации принципов симметрии, фракталов, неэвклидовых пространств и дискретных процессов трансформации одних объектов в другие. Некоторые из работ Эшера стали наглядной "архитектурой невозможного", созданием пространств, нарушающих привычные стереотипы восприятия.

Узлы. 1965 год

Почти все работы Эшера давно растиражированы как в печатной литературе, так и в интернете, картины Эшера безусловно узнаваемы, но стоило увидеть выставку хотя бы ради представления реальных цветов и масштабов работ знаменитого графика. Непосредственное знакомство с филигранной графической техникой Эшера даёт представление о целеустремлённости и даже фанатичности автора. А сила воздействия оптических иллюзий в работах Эшера создаёт творческий импульс, стремление к познанию нового и невозможного.
Почти все работы мастера находятся в распоряжении специального Фонда М.К. Эшера в Нидерландах (M.C. Escher Foundation). Предыдущая выставка проходила за несколько десятилетий до этого в Эрмитаже, и кто знает, когда случится следующая.

«Полюбите эту красотку
и она непременно ответит вам взаимностью»

Слова эти принадлежат моему институтскому преподавателю высшей математики Нине Константиновне Артмеладзе.. Видимо желая пробудить интерес предмету говорила она их нам, своим нерадивым студентам, имея ввиду эту самую математику. Сказать что мы тогда понимали реальный смыл этих слов не могу однако то, что математика может доставлять истинное удовольствие можно было по ней самой, сидя и наблюдая как экспрессивно, увлеченно и темпераментно она вела нам свой предмет. Вероятно, Нины Констаниновны уже давно нет в живых, однако ту сухонькую старушку лет 70-ти с горящими не по годам глазами, я помню до сих пор, и это, одно из многих других ее ярких изречений, которое вывела в эпиграф, вспомнила совсем недавно…после посещения выставки Маурица Корнелиуса Эшера….

Итак Эшер. Сказать по правде имя это хоть и было мне знакомо, не говорило практически ни о чем. Собралась идти на выставку больше за компанию и даже подумать не могла, что придется прикладывать усилие чтоб оттуда уйти...К некоторым его работам я возвращаюсь и по сей день и все, о чем пойдет мой рассказ ниже, узнала спустя время… …
Интерес Эшера к рисунку был отчасти делом случая. Родители маленького мальчика, далеко не бедные люди, мечтая видеть в сыне архитектора отдают его в частную школу, где среди прочих предметов он занимался рисованием.

Ничего явно выдающегося и выделяющего его среди сверстников им в то время создано не было, однако его учителем был художник Самуэль де Мескита , оказавший на молодого человека огромное влияние. Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой на протяжении всей жизни последнего. Здоровье не позволило Эшеру получить архитектурное образование, его семья поселяется на юге Италии. Он был очарован природой и красотой здешних мест.

Любимым занятием становятся пешие многочасовые прогулки во время которых делаются зарисовки.

По наставлению учителя, Эшер уделяет гравюрам особое внимание.

Здесь, в Италии, он проявляет интерес к перспективе трехмерного пространства в рисунке, обращает внимание на математическую точность схождения линий, для придания видимости перспективы. Особенно вдохновляла его в этом смысле Флоренция, где он посетил галерею Уффици, знакомясь с мастерством живописи древних мастеров. Произведения Микеланджело, работы Леонардо да Винчи привлекали пристальное внимание Эшера. Со временем, уже будучи женатым человеком, он поселяется в вечном городе. Это может показаться странным, но днем он не видит в Риме ничего для себя интересного. И совсем другое дело ночь…

Долгие часы он проводил в соборе Св. Петра работы великого Микеланджело. Здесь он пытался осмыслить глубину архитектурного пространства. Так постепенно зарождается его увлечение зрительными парадоксами. То, что было скрыто для большинства постепенно открывалось Эшеру благодаря его тонкой наблюдательности, и, думаю, именно это качество стало залогом успеха многих его картин.

Эшер был человеком замкнутым даже с родными. Иногда он черпал вдохновение в своих снах.

При всей кажущейся любви к уединению Эшер любил путешествовать. Путешествуя из Испании в Италию на грузовом судне VERDI Эшер посещает Сицилию и Мальту.

Был и такой этап в жизни Эшера, когда ему удалось убедить одну из итальянских круизных компаний «Адрия» взять его с супругой пассажирами на борт корабля, в ответ он обязался изображать корабли и гавани, в которые те заходили, для рекламных буклетов компании.

На удивление Эшера его предложение было принято. Среди множества городов, которые он посетил, Сенглеа на Мальте приглянулся ему особенно. Здесь, на острове с богатой историей, родились многие его зарисовки и замыслы. Одна из известных- «Балкон» , где Эшер впервые применяет эффект лупы, с помощью которого можно разглядеть цветок на балконе на отдаленном расстоянии.

Этот прием можно будет рассмотреть и в других его работах.

Математические открытия вдохновляли Эшера на создание некоторых картин. Однако его искусство, в свою очередь, являлось притягательным для математиков. Они признавали его математический дар. Предметом восхищения было то, как ему, человеку далекому от математики, удавалось отобразить суть математических задач. Его картины разбирали и обсуждали на математических симпозиумах и конгрессах. «Когда я увидел впервые его гравюру , я лишился дара речи» - вспоминает математик и физик Роджер Пенроуз, «у него был явно математический талант зрительно изображать свою интуицию на листе бумаги».

Эшер был человеком интересующимся всем необычным. если его что то сильно увлекало, он старался докопаться до сути явления и мастерски делал это в своих работах, изображая рукой художника то, как он это себе представлял.
Так работы Эйнштейна вдохновили Эшера на создание гравюры «Относительность» . Посмотрите как меняется картинка, если на нее смотреть под разными углами. Три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой. Три объекта прорезают друг друга под прямым углом и каждый населен людьми.

Обитатели соседних маленьких миров не могут ходить, сидеть или стоять на одном и том же полу поскольку у них разные представления о горизонтали и вертикали. Однако они могут пользоваться одной и той же лестницей. Мы видим, как наверху два человека идут рядом по лестничным ступенькам как будто в одном направлении, тем не менее один движется вверх, а другой вниз. Контакт между ними невозможен, т.к. они живут в разных мирах и не подозревают о существовании друг друга. В литографии одна и та же картина представлена дважды, но рассматриваем ее с двух разных точек.

Верхняя часть - вид, который откроется наблюдателю, если он поднимется тремя этажами выше, нижняя- то, что он увидит стоя на земле,т.е. на площадке выложенной плитками. Подняв голову наверх, он увидит тот же самый плиточный пол, повторенный как потолок в центре композиции, однако он в тоже время служит полом верхней сцены. Вверху плиточный потолок повторяется, на этот раз как настоящий потолок. Эшер все чаще обращается к теме так называемых «невозможных пространств». Его привлекают зрительные парадоксы.Одна из ранних работ в этом направлении -. Она иллюстрирует библейский миф о трудностях перевода и невозможности коммуникаций.

Фигура невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенорузом , мы можем наблюдать в картине . Здесь два невозможных треугольника соединены в невозможную фигуру, создается впечатление, что вода снизу поднимается наверх, по типу вечного двигателя, а разноэтажные башенки смотрятся почти вровень.

Статья английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах была опубликована в британском журнале психологии в 1958 году «ожила» в картине Эшера « Спускаясь и поднимаясь» . Сама иллюзия для обывателя вряд ли будет заметна, скорей вы отметите здесь некий визуальный абсурд: монахи неизвестного ордена совершают нескончаемую прогулку про круговой галерее на крыше своего монастыря, те кто идет во внешнем ряду все время взбираются вверх, а те, кто шествует во внутреннем ряду, постоянно спускаются вниз.

Как такое может быть? Для математиков картина представляла колоссальный интерес наглядностью решаемых ими задач.

Ничего удивительного, но и психологи свою очередь находили в картинах Эшера нечто для себя интересное. - вот прекрасный пример того, как одно и тоже изображение или явление может восприниматься по-разному, т.е. наглядно изображен принцип двоякости нашего сознания в зависимости от того, на чем концентрировать внимание...

Фигура (в центре картины) или, если хотите, «проблема» может быть «плоской» т.е. не выделяющейся и мало значимой на общем фоне и посмотрите что с ней происходит если концентрироваться на чем то одном, это «одно» выходит на первый план становится «объемным» т.е. захватывает нас целиком…Здесь же у нас есть выбор, на чем концентрироваться, на черном или на белом, и это тоже зависит от конкретного человека, от его настроя на восприятие мира.... Картина в некоторых источниках называется «Оптимист и пессимист» и это наиболее точно, как мне кажется, обозначает суть рисунка…
Еще одна из известных работ Эшера -. Здесь мне видится схожий эффект. Плоская и ничем не привлекающая картинка, может "ожить" если на ней сосредоточится. Рептилии путешествуют из мозайки в реальную жизнь и обратно транзитом через учебник зоологии.

Эмоциональное наполнение произведений Эшера уникально. Почти каждую его работу, мне хотелось охарактеризовать как «пограничное искусство». Пограничное по исполнению, по восприятию и по ощущению которое она оставляет.. Погранично оно и в том, как мастерски переплелись в его работах архитектура, математика, психология и даже биология. Говорят, что постощущения и эмоции от картин Эшера сродни эмоциям математиков. Недаром они видели в нем «родственную душу».
Юг Испании и в частности Альгамбра, оставляет свой след в творчестве Эшера. Дворцы Альгамбры и великолепное мавританское искусство пробуждают в нем интерес к симметрии. Принцип симметрии, который так любили математики, теперь захватывает и Эшера. Различные симметричные построения, путем заполнения плоскости тождественными фигурами становится темой многочисленных его работ.

Пиком этого увлечения, как мне кажется, являются его многочисленные метаморфозы.

От них вообще нереально оторваться...насколько это просто по идее и совершенно непостижимо по исполнению…

Правильные многогранники и многоугольники имели особое очарование для Эшера. Но часто они встречаются лишь в качестве вспомогательных элементов. На литографии «Хаос и порядок» изображен малый звездчатый додекаэдр, один из четырех многогранников Кеплера-Пуансо а вокруг предметы выброшенные за ненадобностью…

На гравюре «Звезды» мы видим объединение тетраэдров, кубов и октаэдров и для сложности восприятия всей этой и без того громоздкой фигуры, Эшер поместил внутрь хамелеонов.

Чтобы представить картину целиком нам надо отвлечься от привычного восприятия...
Невозможный куб можно встретить в картине Ребра куба скрещиваются самым невероятным образом, оно невозможно в трехмерном пространстве

Бесконечные мозайки наглядно демонстрировали любовь Эшера к геометрии. Элементы начертательной, проективной геометрии явно просматриваются в его рисунках.

В тоже время в его мозайке биологи видят с молекулярные модели, с их тождественностью вирусных соединений сфер и многогранников, а кристаллографы находят в них нечто близкое себе, связанное с описание идеальных кристаллов. С тремление Эшера создать на плоскости иллюзии трехмерного пространства, которого на самом деле нет, создание искусственной перспективы и зрительной головоломкой привлекало и привлекает по сей день … Его любимая тема - бесконечность…Она была у него внутренней(плоской)

внешней(объемной) -«Предел круга»

циклической - …

Однако пикового эффекта тема бесконечности достигла в его «Выставке гравюр» Самая непостижимая, самая загадочная из его картин, явилась воплощением тайны, она многими считается шедевром….

Художник пытался создать в ней эффект бесконечности, который наблюдал в парикмахерских при наведении зеркал и одновременно использовал уже известный свой прием-«картинка в картинке». Подобная «анфилада» картинок называется «эффектом Дросте» по названию голландской марки какао Droste которая впервые использовала этот эффект в своей рекламе.

Помимо этого, в своей картине он пытается исказить пространство по типу бутылки Клейна , чтобы создать эффект постоянного движения. Эшер решил замкнуть две плоскости в единое целое. Человек на переднем плане любуется гравюрой, висящей в галерее, в которой изображен он сам…Он видит себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя….и так до бесконечности…это явление находится на грани возможного, его трудно охватить глазом, но оно очень понятно математикам и Эшер этот эффект четко представлял. Он создал галерею, в которой череда картин является зрительным противовесом череде зданий, но замкнуть рисунок по периметру невозможно не исказив его и не выйдя за рамки …Картина словно представляла дефект, а пустой центр только разжигал любопытство многих. …Одни видели в ней т.н. поверхность Римана - абстрактную поверхность с отверстием внутри, другие основу концепции инь и янь, а третьи - черную дыру.
Работой Эшера заинтересовался голландский математик Хендрик Ленстра . Анализируя «Выставку гравюр», он, как математик, решил «закончить незаконченное», но для этого попытался разложить деформированную решетку кручения т.н решетку Эшера пошагово …

В этой решетке Эшер помимо кручения сохранил квадраты канвы … «Решетка основана на повторяемости - дает пояснение математик- деформированный квадрат будет выглядеть квадратом только в том случае, если углы его будут равны 90 град, но эффект этот достигается еще и за счет вращения вокруг оси» . Ленстра объясняет то, что изобразил Эшер в своей гравюре, сложно воспринимать человеческим глазом, поскольку изображение и при повторении изменяет свои размеры в 256 раз, но очень просто понять математику. Понять можно, но изобразить математику это оказалось не под силу и на помощь пришли мощные компьютеры. Рисунок оказалось возможным развернуть и тогда пустой центр принял форму спирали, берущей начало в центре литографии и идущей до ее рамки… Но решение заключалось не только в этом, а еще и в бесконечной мозайке Эшера с соблюдением двойной симметрии, со смещением оси…. Рисунок оказался выполнен как на карандашной стружке, которая заворачивается при точении и как если бы мы эту стружку распрямили…Но математик задался еще одним вопросом- «случайно ли Эшер применил кручение вправо? » Команда Ленстра попыталась «раскрутить рисунок» в обоих направлениях и тут открылась тайна во всей эшеровской красе- «рисунок в рисунке» . Думаешь что можешь разглядеть центр, но уходишь все «глубже» и так до бесконечности....к тому же проблема заполнения центра, тождественная заполнению пространства вокруг изображения- т.е. она невозможна…Интуиция Эшера пришла к этому безо всяких компьютеров и математических исследований не позволила ему заполнить центр оставив его незаполненным. Здесь нужен был механизм более совершенный чем карандаш…Мы же можем погрузится в рисунок с помощью компьютера.

Гениальному Эшеру удалось ближе всего наглядно подобраться к бесконечности. Когда он пришел к выводу, что рисунок не может быть закончен, он поставил в центре свою монограмму. «Ничего более странного я в жизни не делал » - пишет Эшер своему сыну по завершению работы.. И здесь он приходит к выводу-«возможно это и есть искривленное пространство, о котором говорил Эйнштейн» .

По материалам статьи Геометрия Эшера

фильма «Мауриц Эшер. Закончить незаконченное»

многочисленных статей из сети….

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры ) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.

Многогранники

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Форма пространства

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.

Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?

Еще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой , где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.

Логика пространства

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и cнизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

Третий тип картин с нарушенной логикой пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Самовоспроизведение и информация

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример - литографию "Три сферы", на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал "... каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира...".

Таким образом, мы заканчиваем тем же, с чего начали, - автопортретом художника - его отражением в своей работе.

Водовороты

Странно, но в оригинальной работе обошли вниманием целый класс фигур, которые достаточно часто встречаются в работах Эшера. Это закрученные в спирали фигуры. В работе "Спирали" мы видим четыре закручивающиеся в спираль полоски, которые постоянно сближаются и постепенно закручиваются сами в себя, образуя своеобразный тор. Пройдя целый круг, спираль заходит внутрь самой себя, образуя тем самым, как бы, спираль второго порядка - спираль в спирали.

В работе "Водовороты" Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием - регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.

Иной способ представления спирали использован в работе "Сферические спирали", где четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.

Здесь мы привели основные виды спиралей, использованных Эшером в своих работах. Различные их модификации можно обнаружить и на многих других литографиях художника.

Заключение 2

Использование Эшером различных математических фигур и законов не ограничивается лишь вышеприведенными примерами. Внимательно изучая его картины, можно обнаружить и другие, не упомянутые в данной статье, геометрические тела или визуальную интерпретацию математических законов.

Закончить хотелось бы картиной "Узлы", изображающей замкнутые фигуры, которые нельзя отнести к какому-либо разделу данной статьи.

Влад Алексеев.

Мечтатели, сибиллы и пророки, Дорогами, запретными для мысли, Проникли - вне сознания – далеко, Туда, где светят царственные числа. Валерий Брюсов

Мориц Корнелис Эшер, единственный в своем роде художник, работавший не столько с образами, сколько с понятиями.
Возможно, вы никогда не слышали этого имени, а возможно уже успели перепутать его с последним отпрыском дома Эшеров - героем рассказа Эдгара По. Если да, то ваше заблуждение по своему символично, потому что художник Эшер не менее загадочен, чем его литературный однофамилец. Но в любом случае, вы обязательно видели его картины. Гравюры, с изображением замкнутой лестницы, идущей все время вверх, дома с невероятно переплетенными колоннами, мозаики, или как их называют - паркеты из повторяющихся фигур людей, животных или монстров - все это надо увидеть.
Скупые строки биографии. Родился в 1898 году в Голландии. Учеба в школе архитектуры и орнамента в Гарлеме. Учителя, заметившие и оценившие большие способности юноши в графике. Десятилетнее пребывание в Риме. Затем в Швейцарии, Бельгии и, наконец, в голландском городе Барне. И в рамках этой неяркой внешними событиями жизни - драматическая история напряженных творческих поисков.

Его литографии, гравюры на дереве, меццо-тинто можно увидеть в кабинетах математиков и других ученых всего мира. Некоторые его работы носят жутковатый, сюрреалистический оттенок, но произведения Эшера - это не фантасмагория Сальвадора Дали или Рене Маргитта, а тонкие философские и математические наблюдения.
Творчество этого художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эшера могут быть проанализированы математическими методами. Так в свое время были проанализированы и изданы паркеты Эшера, обсуждавшиеся на всемирном съезде кристаллографов.
Но есть немногие творцы, создавшие настолько необычный стиль или направление мысли, что ими можно восхищаться, их ценить или отвергать, но им не удается следовать. Таковы диалоги Платона, таков лист Мебиуса, такова гравюра Дюрера «Носорог». Вероятно, творчество Эшера - среди произведений такого уровня.
Искусство предлагает воспользоваться аллегорией, метафорой, обратившись к чувству. Наука - попытаться «убрать все лишнее», иметь дело с абстракцией, моделью, символом. Художник использует обе возможности.
. Мы должны играть, создавая миры, в которых от нашего «настоящего», слишком сложного и запутанного, взято совсем немного.
Пожалуй, именно в этой подчеркнутой условности, умении выделить немногое, парадоксальности создаваемых миров, в кажущейся легкости и произвольности и состоит очарование работ Эшера.
Симметрии Эшера оказались более богатыми, чем симметрия кристаллов. В ряде работ, описанных в книге Эрнста, реализовались симметрии плоскости Пуанкаре, модели релятивистского пространства скоростей. Переплетение искусства графики и математической теории симметрии в той форме, а которой оно представлено Эшером, явление уникальное, но еще малоизвестное нашему читателю.
Симметрия не единственная отличительная черта графики Эшера. Вторая, не менее важная черта, – это глубокие по своим математическим и физиологическим корням исследования принципов перспективы. Трехмерное отображение двумерного чертежа в мозгу человека оказывается очень сложным и далеко не до конца понятым процессом
Вот, что говорил сам Эшер о своем творчестве:
"Все мои произведения - это игры. Серьезные игры. Все что я делаю это игpа. Я пpосто пытаюсь сложить маленьких звеpушек вместе - я не нахожу, что это легко, но я получаю невеpоятное удовольствие находя способ соединить их. Меня забавляют все вопpосы котоpые возникают когда я pаботаю. Эти вопpосы дpазнят меня и мое самое большое удовольствие - это понять о чем они, а затем найти ответы на них. Потом я делаю оттиск, чтобы дpугие смогли pазделить мою pадость. Вы называете Это математикой?..".

Его автопортрет, созданный в конце жизни, так же парадоксален, как и остальные картины. По-моему, творец здесь похож на свои произведения. Точные детали создают странную гармонию целого. Наверно, сам того не желая, Мориц Эшер оставил здесь свидетельство не только своего внешнего облика и стиля, но и своего характера
"Линию Урана мы встречали сравнительно редко, так как она наблюдается только у людей, обладающих кроме хороших умственных способностей еще особо чувствительной душевной восприимчивостью, так называемой интуицией." В. А. Вреде.

Маленькое чудовище выползает из шестиугольной мозаики, чтобы начать краткий цикл трехмерного бытия. Достигнув Высшей точки,- достигнув додекаэдр, рептилия вновь возвращается в безжизненную плоскость.
Важно не терять «времен связующую нить» и уметь вернуть созданных драконов в плоскость листа. И опять иметь дело с теоретическими возможностями, а не с опасными реалиями.

Правая и левая част композиции не только зеркально симметричны, но и как бы служат своеобразными негативами одна другой. По мере того как наш взгляд перемещается снизу вверх квадраты полей превращаются в белых птиц летящих в ночь, и в черных птиц летащих на фоне светлого дневного неба.
Среди солнца и света рождаются образы тьмы. Или, напротив, лучи света, рождающиеся на границе темного царства? Нет четкой грани. Одна субстанция проникает в другую. Свет и тьма, порядок и хаос. Порядок и хаос оказываются неразрывно связаны. Хаос на одних масштабах может порождать упорядоченность на других и, напротив, хаос в некоторых своих проявлениях выступает как сверхсложная организация.
Попробуем определить границу, на которой кончается день и начинается ночь, где черные лебеди превращаются в белых. Эта граница оказывается в разных местах в зависимости от того, рассматриваем мы картину слева направо или справа налево. Психологи называют этот эффект бистабильностью восприятия. Этот эффект используется в ряде психологических тестов. Художник и психологи играют в похожие игры

Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями,

РАЙ И АД – Предел круга 4

Фигуры ангелов и дьяволов, вплотную примыкая друг к другу, заполняют плоскость. При движении от центра гравюры к ее краю фигуры уменьшаются, превращаясь в бесконечное множество фигурок, невидимых невооруженным глазом на самом краю. Этот замечательный орнамент основан на вполне математической идее – известной из евклидовой модели неевклидовой гиперболической плоскости, придуманной Анри Пуанкаре.
Диск разделен на 6 секций, где доминируют ангелы на черном фоне и дьяволы – на белом. Таким образом, рай и ад меняются местами 6 раз. В промежуточных, «земных» стадиях они подобны друг другу.
Эшер:
"Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением. Рыбы становятся птицами. День ночью. Из хаоса рождается жизнь, она замирает в мертвых городах, трансформируется в шахматную партию и рассыпается в пыль. Мозаика оживает и превращается в ящериц, они движутся, живут и вновь уходят в орнамент."

Лист бумаги лежит на выложенном квадратными плитами полу. Точки, в которых скрещиваютя ребра куба отмечены кружочками. На остове куба в руках у сидящего мальчика ребра скрещиваются самым невероятным (и не реализуемым в трехмерном пространстве) образом. Множество «невозможных деталей имеется и в самом бельведере». Юноша, забравшийся на самый верх по пристанной лестнице, вист снаружи бельведера. Хотя основание лестницы находится внутри его. Человек в темнице, вероятно, сошел с ума, пытаясь разобраться в противоречиях причудливого мира, в котором он оказался по воле художника

ВВЕРХ ПО ЛЕСТНИЦЕ, ВЕДУЩЕЙ ВНИЗ

У Эшера было небольшое психическое отклонение - он испытывал болезненное влечение к падению. При взгляде вверх, на башню, гору или бесконечную вертикаль Эшер впадал в экстатическое оцепенение. Об этом вспоминают многие его биографы и друзья. Патологическая любовь к высоте породила его неповторимую манеру письма - что бы ни изображал Эшер, это было нарушение очевидного, падение вниз, выворачивание наизнанку, насмешка над силами тяжести и искривление позвоночного пространства.
Может быть его преследовал некий инстинкт, призванный природой не уберечь, а уничтожить трехмерное пространство. Да, он определенно был разрушителем евклидовой геометрии.

Использована одна из удивительных «невозможных » фигур, впервые обнаруженных английским генетиком Л.С. Пенроузом и его сыном математиком Р. Пенроузом.
Монахи неизвестного ордена совершают неизвестный ритуал – нескончаемую прогулку по круговой галерее на крыше своего монастыря. При этом те, кто идет по «невозможной» лестнице во внешнем ряду – все время взбирается вверх, а те, кто шевствует во внутреннем ряду, столь же неуклонно спускаются вниз.
Эшер: « И то, и другое, хотя и не лишено смысла, одинаково бессмысленно. Два мыслящих индивидуума (один на балконе, другой на лестнице), отказываются принимать участие в «упражнениях духа» Им кажется, что они постигли истину глубже, чем их собратья но рано или поздно они поймут ошибочность своего неконформизма»

Гравюра «Меньше и меньше» показывает типичный фрактальный объект.
Самые известные фигуры во фрактальной геометрии. Эти рисунки построены по очень простому и экономичному правилу. Чтобы один компьютер передал другому свое произведение, достаточно сообщить только это правило. Естественно, тут же возникает идея «сжать изображение», то есть упаковать его в наиболее экономном виде, используя фрактальные алгоритмы, или применить такие подходы для создания шифров и кодов. В некоторых случаях это делается и с большим успехом.

Изображен малый звездчатый додекаэдр-один из четырех звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо, Образующих вместе с пятью Платоновыми телами девять правильных многогранников. Малый звездчатый додекаэдр (вместе с еще одним звездчатым многогранникм) был впервые открыт Кеплером, который назвал его «ежом».
Рисунок «ежа» был опубликован на страницах кеплеровской «Гармонии мира» - грандиозного трактата, в котором гармонические пропорции, открытые великим астрономом в формах геометрических фигур. Переносились на движение небесных тел.
В «Гармонии мира» Кеплер впервые сформулировал свой знаменитый третий закон движения планет.
На литографии «Порядок и хаос» изящная симметрия многогранника, вершины которого пронзают окружающий его мыльный пузырь, противостоит коллекция предметов, которые Эшер охарактеризовал как «выброшенные за ненадобностю, смятые и никому ненужные».

Два зеркально симметричных узла, известных под названием «трилистник». Левый узел «сделан» из двух полосок, пересекающихся под прямым углом. Перед тем как концы такой крестообразной полоски были соединены, всю двойную полоску перекрутили на полоборота. Большой узел, изображенный под двумя трилистниками, «выпонен» из ажурной трубки четырехугольного сечения, перекрученной на четверт оборота перед склеиванием ее концов: муравей, ползущий по центральной дорожке, опишет четыре полных круга, прежде чем вернтся в исходную точку.

Эшер изибразил три плоских диска, каждый из которых «закамуфлирован» под сферу. Нижний диск лежит на столе. Средний перегнут под прямым углом вдоль диаметра. Верхний диск стоит вертикально на горизонтальной половине среднего диска. Разобраться в «обмане» вам помогут линия сгиба среднего диска и одинаковая раскраска всех трех «псевдосфер»

Литография «Три мира» вызывает ощущение близости иной Вселенной. Вселенной, в которой существуют другие живые существа на Земле. Дело не только в том, что мы видим и слышим со многими из них в разных диапазонах. Не только в том, что «братья наши меньшие» могут иметь органы чувств, которых мы лишены. Представим хотя бы на минуту, что нашей естественной средой обитания была бы вода. Тогда земная твердь и океан в нашем восприятии как бы поменялись местами. Суша бы казалась чем-то вроде ближнего космоса. И, возможно, военные эксперты обсуждали бы вместо планов «звездных войн» возможности сухопутных боевых действий. Да и законы физики открывшись бы такой цивилизацией совсем в другом порядке

Орнаменты из ящериц, голов, фигур всадников - символы гармонии, точности, упорядоченности. Периодичность, повторяемость, простота правил игры. Именно та сфера, где преуспели точные науки. Поэтому картина «Мозаика II» воспринимается как большая неожиданность и блестящий парадокс даже среди творчества такого необычного художника, как Мориц Эшер. Здесь плоскость рисунка плотно заполнена фигурами рыб, животных, птиц, среди которых нет одинаковых. Нельзя вынуть ни одну из них, не нарушив гармонии целого. Человек выглядит здесь как равный среди равных. Странное сочетание хаоса и случайности с точностью и определенностью, характерное как для живого, так и для музыкальной гармонии. Здесь очень естественно выглядит гитара - символ мелодии жизни.

Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием - регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.

четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры

Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.